EL USO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL EN EL FUNCIONAMIENTO DE LAS CALCULADORAS

Introducción

En la época moderna para calcular valores numéricos podemos utilizar de forma muy sencilla una calculadora. Por ejemplo, para encontrar el valor de la expresión  basta que se opriman las siguientes teclas de la calculadora de la Figura 1, indicadas en los pasos de la Tabla 1, para obtener el resultado de la Figura 2.

Figura 1

 

 

 

 

 

Tabla 1

Figura 2

¿Sabes cómo la calculadora puede calcular rápidamente el resultado anterior?

El objetivo de éste artículo, es compartir la forma en que se usa uno de los resultados fundamentales del cálculo diferencial, para evaluar de manera rápida expresiones como la anterior. El resultado que vamos a utilizar recibe el nombre de Teorema de Maclaurin.

Desarrollo

En cálculo diferencial el lector seguramente ha calculado la primera y la segunda derivadas de una amplia gama de funciones. Por ejemplo, si la función es  , la Tabla 2 muestra el resultado de las primeras 5 derivadas.

Tabla 2

En forma similar la Tabla 3 muestra las primeras 8 derivadas de las funciones  y , que corresponden a algunas opciones que tienen calculadoras científicas.Tabla 2

Tabla 3

El teorema de Maclaurin[1] dice lo siguiente.

Sea  una función infinitamente diferenciable, entonces

Para el caso particular en que  , el teorema de Maclaurin queda de la siguiente manera.

En ésta fórmula se puede aproximar el resultado de sustituyendo el número 1.45 en lugar de la variable obtendiendo

Observe que la suma tiene una infinidad de términos, y por lo tanto, el valor exacto no se podrá encontrar, pero en muchas ocasiones basta hacer las operaciones de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones indicadas hasta cierta cantidad de términos.

Si en éste caso se calculan los primeros 10 términos queda la expresión siguiente

Y haciendo las operaciones queda

En la Figura 2 se da la respuesta exacta hasta el decimal 11 y coincide con la aproximación que se acaba de calcular hasta el quinto decimal. Muy buena aproximación en muchos casos.

Utilizando los resultados de la Tabla 3 se pueden calcular una aproximación a cada una de las las siguientes expresiones usando el teorema de Maclaurin.

  1. Ver: https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor