LA BELLEZA DE LA GEOMETRÍA

Introducción

La geometría ha fascinado al ser humano desde su origen, y a lo largo de la historia humana, se han encontrado muchos resultados de geometría que involucran a la circunferencia. En éste breve artículo se describen algunos de los teoremas más famosos que involucran a circunferencias que posiblemente no conozcas y que son de gran belleza, que nos anima a pensar que la naturaleza es sabia.

Recomendamos que se use reglas y compás para verificar, con algún ejemplo, que la afirmación es correcta.

Teorema 1

Teorema de Pascal[1]

Empezamos con uno de los resultados clásicos de la geometría descubierto por Pascal (1623-1662), conocido como el teorema de Pascal o hexagrama místico de Pascal. El teorema dice lo siguiente (Ver la Figura 1).

Sea ABCDEF los vértices de un hexágono cualquiera, todos ellos en una circunferencia. Entonces los tres puntos de intersección de los lados opuestos del hexágono, llamados , y están en una misma línea recta.

Figura 1

Teorema 2

Circunferencia de los nueve puntos[2]

El teorema dice lo siguiente

En cualquier triángulo ABC, los tres puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro del triángulo, están en una misma circunferencia (ver la Figura 2).

Figura 2

Generalmente, se adjudica al alemán Feuerbach en 1820 el descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos; sin embargo, lo que él descubrió fue la circunferencia de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encontraban los puntos medios de los lados de un triángulo y los pies de las alturas (en la figura, los puntos: M N P y E G J).

Anteriormente, Briachon y Pocelet habían demostrado el mismo teorema en 1815. Poco tiempo después de Feuerbach, el matemático Terguem  también demostró la existencia del círculo y reconoció además que los puntos medios de los segmentos determinados por los vértices del triángulo y el ortocentro, también estaban contenidos en la circunferencia (en la figura, los puntos: D, F, H).

Teorema 3

Teorema de los siete círculos[3]

La mayoría de los resultados conocidos de geometría datan de más de 150 años. El teorema que se comparte a continuación fue publicado en el año de 1974. Esto da pie a considerar que muchos otros resultados aún están por describirse en los siguientes años.

El teorema dice lo siguiente.

En la Figura 3 se tiene un círculo C y 6 círculos más. Cada uno de estos 6 círculos es tangente al círculo C en los puntos P1, P2, P3, P4, P5 y P6, respetivamente, y cualesquiera dos círculos sucesivos también son tangentes uno a otro. En otras palabras, los círculos que pasan por P1, P2 son tangentes en un punto, los círculos que pasan por P2 y P3 son tangentes en un punto, los que pasan por P3 y P4 son tangentes en un punto, los que pasan por P4 y P5 son tangentes en un punto, los que pasan por P5 y P6 son tangentes en un punto y finalmente los que pasan por P6 y P1 son tangentes en un punto. Si todas estas condiciones se cumplen, entonces las líneas P1P4, P2P5 y P3P6 se cruzan en un punto en común llamado Q.

Figura 3

El resultado también se cumple si los 6 círculos son tangentes externamente al círculo C como se puede ver en la Figura 4.

Figura 4

Teorema 4

Teorema de los 6 círculos[4]

Así como hay un teorema de los 7 círculos también hay un teorema de los 6 círculos descubierto por Tyrrell (1932-1992), Evelyn (1904-1976) y Money-coutts. Se describe a continuación (ver la Figura 5).

Consideremos el triángulo ABC en el cual sus tres ángulos son agudos. Sea C1 cualquier círculo tangente a los lados PQ y QR de triángulo. Sea C2 un círculo tangente a los lados QR y RP y al círculo C1. Si se continua construyendo círculos en la misma dirección que sean tangentes a dos lados del triángulo y al círculo anterior, entonces el sexto círculo que se construye es tangente al primero.

 

Figura 5

Teorema 5

Teorema de los círculos de Ford[5].

Este es un resultado sorprendente que relaciona la geometría con la aritmética de los números racionales. Fue propuesto por Ford (1886-1967) y se describe a continuación (ver la Figura 6).

Consideremos la recta numérica y dos círculos C1 y C2 que son tangentes entre sí y tangentes en los valores 0 y 1 de la recta numérica. Si agregamos el círculo C3 que es tangente a los dos primeros y que sea también tangente a la línea recta, resulta que es tangente en el punto 1/2. Si continuamos, este proceso, es decir, se traza un círculo que sea tangente a dos cualesquiera de los círculos y a la recta numérica, entonces cruza a ésta última siempre en un número racional y nunca en un número irracional. Aún más sorprendente en éste teorema, es que si tenemos cualquier número racional de la forma  siempre se tendrá un círculo tangente a dos anteriormente trazados con el procedimiento que se acaba de describir, y que además es tangente a la línea recta exactamente en el punto  .

Figura 6

  1. The Circle, A. Posamentier, R. Gerentschalager. Prometeus Books. 2016.
  2. The Circle, A. Posamentier, R. Gerentschalager. Prometeus Books. 2016.
  3. The Circle, A. Posamentier, R. Gerentschalager. Prometeus Books. 2016.
  4. The Circle, A. Posamentier, R. Gerentschalager. Prometeus Books. 2016.
  5. The Circle, A. Posamentier, R. Gerentschalager. Prometeus Books. 2016.