¿QUÉ ES LA TOPOLOGÍA?

Las matemáticas no solamente se refieren a la aritmética, la geometría, trigonometría, el álgebra, el cálculo diferencial e integral, la probabilidad y la estadística. Si bien, éstas son ramas de las matemáticas muy importantes, ésta ciencia es mucho más amplia y tiene otras ramas igual de importantes. Una de éstas es la “topología” palabra que proviene de griego “topos”, que significa “lugar” y “logos”, que significa estudio. Formalmente, la topología es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que no cambian o no son alteradas cuando hay cambios continuos.

La topología estudia las propiedades de un conjunto de objetos llamados “espacios topológicos” y de las funciones continuas entre diferentes espacios topológicos.

En éste artículo se la definición de espacio topológico, de función continua, algunos ejemplos y finalmente se describen brevemente algunas áreas de aplicación de la topología.

Definición de espacio topológico

Consideremos cualquier conjunto de elementos que llamaremos X y una colección de subconjuntos de dicho conjunto que llamaremos A con las propiedades siguientes

Entonces se dice que el conjunto es un espacio topológico con topología dada por la colección de conjuntos .

La definición que se acaba de dar aunque es abstracta, es una de las ideas más importantes que se han inventado en las matemáticas a lo largo de su historia.

A partir del estudio de la topología y sus elementos, que son los espacios topológicos, las matemáticas avanzaron en el siglo XX como nunca lo habían hecho antes. Gracias a la topología se han puesto las bases de muchas cosas que hoy sabemos de matemáticas y actualmente empieza a tener gran cantidad de aplicaciones.

Se describen a continuación algunas aplicaciones recientes de la topología.

Aplicación 1 (Análisis topológico de datos)[1]

Es una técnica de análisis de complejas bases de datos usando conocimientos de topología. Hoy en día en los negocios y la ciencia, es importante poder extraer información de conjuntos de datos que son muy complejos, lo cual los hace desafiantes a la hora de manejarlos adecuadamente para poder extraer información valiosa de ellos. Lo que se hace en topología es manejar los datos con herramientas con las que no cambia la naturaleza de dichos datos y con ello se trata de ver la forma general que tienen los datos.

Figura 1

En muchas ocasiones las gráficas de datos se parecen a la que tiene forma de dona con una letra T de la Figura 1. En otras, los datos tienen la forma de una esfera como la que se muestra en la figura o pueden tener una apariencia intermedia como la que se muestra . Dependiendo de la forma que tienen es el tipo de características que conservan los datos. ¿Qué tipos de datos se pueden estudiar con la topología? Las opciones son muy amplias[2].

  • Estudio de la topología de enjambres de células cerebrales, lo cual permite entender mejor el funcionamiento del cerebro en su conjunto y cómo actúan fármacos en éste.
  • Procesamiento digital de señales complejas. Procesar señales significa analizar señales que permiten mandar información a dispositivos o recopilar información a dispositivos. Por ejemplo, mejorar las señales de radio y televisión.
  • Actualmente hay muchos desarrollos en electrónica que usan sensores cada vez en mayor cantidad y más pequeños. Por extraño que parezca, la topología se está utilizando para diseñar sensores cada vez más pequeños y eficientes en su funcionamiento y uso de energía. Esto no se podría hacer si no se conociera como es la estructura microscópica (topología) de los elementos que conforman los sensores.
  • La topología también se está usando para estudiar a escala microscópica como es el movimiento de fluidos, esto permitirá en el futuro que un medicamento sea más eficaz para llegar a la parte del cuerpo sobre la que debe actuar. Entender ese movimiento complejo es tarea de la topología.
  1. Ver: https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_data_analysis
  2. Ver https://www.math.upenn.edu/~ghrist/research.html