Para poder referirse a lo que actualmente se conoce como secciones cónicas, desde la geometría analítica y sus aplicaciones en la vida cotidiana, se debe tener en cuenta que para llegar a este punto se tuvo que gestar un tipo de pensamiento en diferentes personajes importantes que datan desde los años 300 a.C. La escuela de pensamiento de la cultura griega, por ejemplo, se caracterizaba por plantear problemas geométricos entre sus miembros, en estos retos se podía apostar desde el prestigio del matemático retado hasta su estatus económico. Las herramientas con las que se contaba en esa época para resolver estos problemas eran la regla no graduada y compás, tales herramientas eran una limitante para los matemáticos ya que no se tenía todo el
lenguaje, signos y símbolos de la actualidad.

El estudio de las matemáticas en la antigüedad dependía del contexto histórico, político, religioso y social de la época. Las creencias religiosas predominaban cierta forma de pensamiento en las personas y la cultura griega no fue la excepción, se plantearon tres problemas importantes que son la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con la misma área de un círculo dado), la duplicación del volumen de un cubo (construir un cubo cuyo volumen sea el doble del de un cubo dado) y la trisección de un ángulo.

Aunque es difícil distinguir los elementos históricos de los mitos y leyendas, un posible origen del problema de la duplicación del cubo se remonta a la ciudad de Delfos, en donde se ubicaba un templo en honor al dios Apolo. Por una grieta en la tierra de dicho templo emanaban unos gases que hipnotizaban a la pitonisa Pitia y de ésta manera ser la voz de Apolo. Los sacerdotes interpretaban lo que Pitia decía ya que se creía que Apolo sabía de todo, incluso el futuro. En esos tiempos, 433 a.C. aproximadamente, se desató una devastadora peste en Grecia y consultar al oráculo era tarea obligada, por lo que le preguntaron ¿qué deberían de hacer para acabar con la peste de la época? A lo que los sacerdotes le encomendaron a Pericles que debía duplicarse el altar cúbico dedicado a Apolo con el fin de obtener más ofrenda (Hans, Muñoz, y Fernández, 2005).

Figura 1. Delfos

Utilizando secciones cónicas específicas se puede dar solución a algunos de los problemas mencionados anteriormente; por ejemplo, la duplicación del cubo se obtiene encontrando la abscisa del punto de intersección de las parábolas x2=ay y2=2ax, donde a es la arista del cubo original y x la arista del cubo duplicado consecuencia de intercalar dos medios proporcionales entre a y 2a de las razones   , la abscisa es   ,  el gráfico se puede representar en un software de la siguiente manera.

Figura 2. Duplicación del cubo.

Para el caso de la trisección del ángulo. Sea a un ángulo arbitrario. Se construye la circunferencia de centro O y radio OA = OB de modo que AOB=a . Sea la recta OC bisectriz de a . Con OC como directriz y B como foco, se construye una rama de hipérbola de excentricidad e=2 . Sea P el punto de intersección de la hipérbola con el arco de circunferencia AB. Análogamente se obtiene el punto P’ utilizando A como foco. Por definición de hipérbola,1 BP = 2PD y AP’ = 2DP’. Además, debido a la simetría, PD = DP’. En definitiva, resulta que BP = PP’ = P’A y queda así trisecado el ángulo a (Arenanza, 1998 y Alegría 2002). El gráfico se puede representar en un software de la siguiente manera.

Figura 3. Trisección del ángulo.

Pero como éstas construcciones no se podían verificar con regla y compás no fueron tomadas como válidas en ese momento histórico.

Estos tres problemas tuvieron las limitantes de las herramientas mencionadas, por lo que se tenía que plantear una nueva forma de resolverlos, esto pudo llevar a Menaechmus o Mececmo (375 a.C. – 325 a.C.) a plantear conos (desde un plano tridimensional) con tres tipos de ángulos y a cada uno de ellos cortarlos con un plano perpendicular a su base, lo que generaría tres importantes figuras geométricas (en un plano bidimiensional). Dependiendo de que el ángulo sea menor, igual o mayor que un ángulo recto, se obtiene la elipse, parábola e hipérbola, respectivamente, a éstas se les conocerían como la triada de Menecmo (Ibáñez, 2002). En ese momento histórico la hipérbola era considerada sólo con una rama.

1 | Definición desde la excentricidad: Lugar geométrico de los puntos P cuya distancia OP a un punto fijo,
llamado foco, es
e veces su distancia PK, a una recta fija llamada directriz, donde e es una constante positiva
llamada excentricidad.

Referencias de consulta

  • Alegría, P. (2002). Las cónicas y sus aplicaciones. Red universitaria de aprendizaje, 1-21. Recuperado de http://www.ehu.es/~mtpalezp/conicas.pdf
  • Arenzana, V. (1998). Las curvas mecánicas en la geometría griega. La cuadratriz de Dinóstrato. SUMA, 28, 31-36. Recuperado de https://revistasuma.es/IMG/pdf/28/031-036.pdf
  • Hans, J. A., Muñoz, J. y Fernández, A. (2005). Cuadraturas de polígonos regulares  SUMA, 48 ,65-68 Recuperado de http://revistasuma.es/IMG/pdf/48/065-%20068.pdf
  • Ibáñez, R. (2002). Secciones cónicas. Sigma, 20, 12-37. Recuperado de https://www.researchgate.net/publication/28067212_Secciones_conicas