Las definiciones de cónicas (siempre y cuando no sean cónicas degeneradas) son distintas dependiendo el contexto en el que se construyan, por ejemplo, como secciones perpendiculares a una generatriz para diferentes conos, como la intersección de un plano con un cono circular recto,1 desde el punto de vista proyectivo y, debido a Fermat y Descartes, desde el punto de vista analítico.

Las cónicas desde la Geometría Analítica como lugar geométrico son:

  • La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
  • La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (foco), y de una recta fija (directriz).
  • La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.

Estos lugares geométricos poseen diferentes propiedades como la excentricidad, de la que se habló anteriormente, focos, directriz, vértice, centro, eje focal, lado recto, ecuación general, eje transversal, eje conjugado, etcétera. Desde la geometría analítica también se pueden representar con ecuaciones paramétricas.

La siguiente tabla muestra un resumen de las cónicas, que toma como referencia a los libros Geometría Analítica de Charles Lehman de 2002 y Geometría Analítica Moderna de William Wooton de 1985 y muestra la relación con los elementos enunciados en el párrafo anterior.

 

 

Los tipos de lugares geométricos que se mencionaron anteriormente reciben el nombre de secciones cónicas o cónicas por ser resultado de la intersección de un plano con un cono circular recto. Gráficamente se vería de la siguiente manera.

Los casos excepcionales no vacíos se obtienen cuando el plano pasa por el vértice del cono (para el caso de dos rectas paralelas hay que sustituir al cono por un cilindro circular recto, que se puede pensar es un cono cuyo vértice está a una distancia infinita). Estos casos excepcionales se llama cónicas degeneradas. Gráficamente se vería de la siguiente manera.

 

 

Referencias de consulta
Lehmann, C. (2002). Geometría Analítica. México D.F., México: Limusa Noriega Editores.
Wooton, W. (1985). Geometría Analítica Moderna. México D.F., México: Publicaciones
Cultural S.A. de C.V.